Question

試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

見解析

解析:

錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.

技巧與方法：本題中使用到結論：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數)，從而a^k+1+c^k+1＞a^k·c+c^k·a.

證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用數學歸納法證明：

①當n=2時，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②設n=k時成立，即

則當n=k+1時， (a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)

＞(a^k+1+c^k+1+a^k·c+c^k·a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k·()=()^k+1