Question

已知橢圓的左、右焦點為F₁、F₂，過點F₁斜率為正數的直線交Γ與A、B兩點，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數列．
（Ⅰ）求Γ的離心率；
（Ⅱ）若直線y=kx（k＜0）與Γ交于C、D兩點，求使四邊形ABCD面積S最大時k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓定義及已知條件，有|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，由此能求出橢圓Γ的離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²+2y²=a²．，設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），則C、D坐標滿足，由此得x₁=-，x₂=．由此能求出求使四邊形ABCD面積S最大時k的值．
解答：解：（Ⅰ）根據橢圓定義及已知條件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=a，|BF₂|=a，
所以點A為短軸端點，b=c=a，
Γ的離心率e==．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²+2y²=a²．
不妨設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
則C、D坐標滿足，
由此得x₁=-，x₂=．
設C、D兩點到直線AB：x-y+a=0的距離分別為d₁、d₂，
因C、D兩點在直線AB的異側，則
d₁+d₂=
=
=．…（8分）
∴S=|AB|（ d₁+d₂）
=•a•
=．
設t=1-k，則t＞1，
=，
當=，即k=-時，最大，進而S有最大值．…（12分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．