Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求直線CE與平面PAD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：取PA的中點為F，連接EF、BF，

∵E為PD中點，

∴EF∥AD，且 ，

又∵BC∥AD， ，

所以：BC EF，

因此：四邊形BCEF為平行四邊形，

所以：CE∥BF，

又∵CE平面PAB，BF平面PAB，

所以：CE∥平面PAB．

得證．

（2）過E點作AP平行線交AD于M，連接CM、EM．

∵PA⊥平面ABCD，E為PD中點，

∴M為AD的中心，則有BC AM，所以四邊形ABCM是平行四邊形，AB∥CM，CM⊥AD，

CM平面ABCD，所以PA⊥CM，

又∵AM∩PA=A，CM⊥平面PAB

∴CM⊥EM，

那么∠MCE就是直線CE與平面PAD所成角．

又∵PA=2，E、M分別為PD、AD的中點，

∴CM=EM=1，所以∠ECM=45°，

故直線CE與平面PAD所成角為45°．

【解析】（Ⅰ）要證明CE∥平面PAB；只需要證明CE與平面PAB內的一條直線平行即可．由題意，E為PD中點．取AP中點F，連接EF，BF，證明CE∥BF即可．（Ⅱ）過E點作AP平行線交AD于M，連接CM，證明CM垂直平面ADP，那么∠MCE就是直線CE與平面PAD所成角．（作（找），證，算，三步驟都不能少）
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．