Question

2．如圖所示，已知圓內接四邊形ABCD，記T=tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{D}{2}$．
（1）求證：T=$\frac{2}{sinA}$+$\frac{2}{sinB}$；
（2）若AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求T的值及四邊形ABCD的面積S．

Answer 1

分析 （1）由三角形內角和定理，誘導公式，同角三角函數基本關系式化簡即可得解．
（2）由于cos∠BAD+cos∠BCD=0，利用余弦定理可求BD的值，進而可求cosA，利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值，利用三角形面積公式可求四邊形ABCD的面積S，進而可求sinB的值，代入即可解得T的值．

解答 解：（1）$T=tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{π-A}{2}+tan\frac{π-B}{2}=tan\frac{A}{2}+cot\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+cot\frac{B}{2}$=$\frac{{sin\frac{A}{2}}}{{cos\frac{A}{2}}}+\frac{{cos\frac{A}{2}}}{{sin\frac{A}{2}}}+\frac{{sin\frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}}+\frac{{cos\frac{B}{2}}}{{sin\frac{B}{2}}}=\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}$．
（2）由于：AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
由題知：cos∠BAD+cos∠BCD=0，
可得：$\frac{{A{B^2}+A{D^2}-B{D^2}}}{2AB•AD}+\frac{{B{C^2}+C{D^2}-B{D^2}}}{2BC•CD}=0⇒B{D^2}=\frac{247}{7}$，
則$cosA=\frac{3}{7}$，$sinA=\frac{2}{7}\sqrt{10}$，
則$S=\frac{1}{2}（AD•AB+CD•BC）sinA=6\sqrt{10}$，
則$S=\frac{1}{2}（AB•BC+AD•CD）sin∠ABC=6\sqrt{10}⇒sin∠ABC=\frac{{6\sqrt{10}}}{19}$，
$\begin{array}{l}T=\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}=\frac{2}{{\frac{{2\sqrt{10}}}{7}}}+\frac{2}{{\frac{{6\sqrt{10}}}{19}}}=\frac{{4\sqrt{10}}}{3}\end{array}$．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，誘導公式，同角三角函數基本關系式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．