Question

正數x、y滿足

2

x

+

1

y

=1，若x+2y＞m²+2m恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

A．m≤-2或m≥4

B．m≤-4或m≥2

C．-2＜m＜4

D．-4＜m＜2

Answer 1

分析：利用基本不等式的性質可得x+2y的最小值，由x+2y＞m²+2m恒成立?m²+2m＜（x+2y）_min．

解答：解：∵正數x、y滿足

2

x

+

1

y

=1，
∴x+2y=（x+2y）(

2

x

+

1

y

)=4+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=8，當且僅當

4y

x

=

x

y

，即x=2y=4時取等號．
∵x+2y＞m²+2m恒成立，∴m²+2m＜8，解得-4＜m＜2．
故實數m的取值范圍是-4＜m＜2．
故選D．

點評：熟練掌握基本不等式的性質和正確轉化恒成立問題是解題的關鍵．