Question

如圖，在二次函數f(x)=4x-x²的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD，求這個矩形的最大面積.

Answer 1

分析：本題考查常見函數的導數及用導數求最值等知識點.求函數最值的關鍵是選好自變量建立目標函數.一般說來，若f(x)是關于x的二次函數，可用配方法，也可用求導的方法求最值；若f(x)是三次或三次以上函數，則用求導的方法求最值，但均需注意函數的定義域.

解：如上圖，f(x)=4x-x²=-(x-2)²+4，它的對稱軸方程是x=2,頂點坐標是（2，4）.    

不妨設A（x,0)(0<x<2),則B（4-x,0),D(x,f(x)).

∵D(x,f（x））在拋物線上,∴f(x)=4x-x².       

∴S_矩形ABCD=(4-2x)(4x-x²)

=2x³-12x²+16x(0<x<2).                      

∴S′=6x²-24x+16.                         

令S′=0,得x₁=2-,x₂=2+(舍去）.  

又∵S_矩形ABCD在x∈(0,2)上只有一個極值點，

∴它必是一個最值點.

∴［S_矩形ABCD］_max=2(2-)³-12(2-)²+16(2-)=.