Question

（本小題滿分12分）甲有一個裝有個紅球、個黑球的箱子，乙有一個裝有個紅球、個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定:所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝（，，，）．

(Ⅰ)當,時，求甲獲勝的概率；

（Ⅱ）當，時，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分．求甲的得分期望達到最大時的，值；

（Ⅲ）當時，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意，甲、乙都取紅球的概率,

甲、乙都取黑球的概率,∴甲獲勝的概．……… 3分

（Ⅱ）令表示甲的分數(shù)，則的取值為0,1,3, ，， ，

	0	1	3

得的分布列如下：

于是；

又且，∴，且

故當時，的最大值為．               ……………………………… 7分

（Ⅲ）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 種不同情形，

每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則，，

∴，

當時，，甲、乙獲勝的概率相等，這個游戲規(guī)則是公平的；

當時，，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平，有利于甲．

                                                        ……………………………… 12分