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設P,A,B,C半徑為2的球面上四點,且滿足
PA
PB
=0,
PA
PC
=0,
PB
PC
=0,則S△PAB+S△PAC+S△PBC的最大值是
 
分析:根據題中的數量積為零可得PA、PB、PC兩兩互相垂直,從而以PA、PB、PC為長、寬、高建立長方體,該長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球.由球內接長方體的性質與長方體的對角線公式,算出PA2+PB2+PC2=16.
最后利用三角形面積公式與基本不等式加以計算,可得當PA=PB=PC時,S△PAB+S△PAC+S△PBC有最大值為8.
解答:解:∵
PA
PB
=0,
PA
PC
=0,
PB
PC
=0,精英家教網
∴PA、PB、PC兩兩互相垂直,
如圖所示,以PA、PB、PC為長、寬、高建立長方體,可得長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球,球的半徑R=2.
∴PA2+PB2+PC2=(2R)2=16.
∵S△PAB=
1
2
PA•PB≤
1
4
(PA2+PB2),S△PAC=
1
2
PA•PC≤
1
4
(PA2+PC2),
S△PBC=
1
2
PB•PC≤
1
4
(PB2+PC2),
∴S△PAB+S△PAC+S△PBC
1
4
[(PA2+PB2)+(PA2+PC2)+(PB2+PC2)]=
1
2
(PA2+PB2+PC2)=8.
當且僅當PA=PB=PC時,S△PAB+S△PAC+S△PBC有最大值等于8.
故答案為:8
點評:本題給出三條側棱兩兩垂直的三棱錐,已知它的外接球半徑為2的情況下求側面積的最大值.著重考查了向量的數量積及其運算性質、長方體的性質與對角線公式、球內接多面體與基本不等式等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦點分別為F1,F2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過橢圓上一點P作此圓的切線,切點為T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(1)證明:橢圓上的點到點F2的最短距離為a-c;
(2)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(3)設橢圓的短半軸長為1,圓F2與x軸的右交點為Q,過點Q作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點,若OA⊥OB,求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值.

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已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且△ABC的外接圓半徑為R,
AB
AC
=9
.sinB=cosAsinC.
(1)求△ABC的三邊的長;
(2)設P是△ABC(含邊界)內的一點,P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z.
①寫出x、y、z.所滿足的等量關系;
②利用線性規劃相關知識求出x+y+z的取值范圍.

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