Question

設P，A，B，C半徑為2的球面上四點，且滿足

PA

•

PB

=0，

PA

•

PC

=0，

PB

•

PC

=0，則S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據題中的數量積為零可得PA、PB、PC兩兩互相垂直，從而以PA、PB、PC為長、寬、高建立長方體，該長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球．由球內接長方體的性質與長方體的對角線公式，算出PA²+PB²+PC²=16．
最后利用三角形面積公式與基本不等式加以計算，可得當PA=PB=PC時，S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC有最大值為8．

解答：解：∵

PA

•

PB

=0，

PA

•

PC

=0，

PB

•

PC

=0，
∴PA、PB、PC兩兩互相垂直，
如圖所示，以PA、PB、PC為長、寬、高建立長方體，可得長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，球的半徑R=2．
∴PA²+PB²+PC²=（2R）²=16．
∵S_△PAB=

1

2

PA•PB≤

1

4

（PA²+PB²），S_△PAC=

1

2

PA•PC≤

1

4

（PA²+PC²），
S_△PBC=

1

2

PB•PC≤

1

4

（PB²+PC²），
∴S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC≤

1

4

[（PA²+PB²）+（PA²+PC²）+（PB²+PC²）]=

1

2

（PA²+PB²+PC²）=8．
當且僅當PA=PB=PC時，S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC有最大值等于8．
故答案為：8

點評：本題給出三條側棱兩兩垂直的三棱錐，已知它的外接球半徑為2的情況下求側面積的最大值．著重考查了向量的數量積及其運算性質、長方體的性質與對角線公式、球內接多面體與基本不等式等知識，屬于中檔題．