Question

湖北省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)紀(jì)念章委托某專營(yíng)店銷售，每枚進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章需向荊州籌委會(huì)交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元，為整數(shù).
(1)寫出該專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤(rùn)(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格(元)的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域)；
(2)當(dāng)每紀(jì)念章銷售價(jià)格為多少元時(shí)，該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)(元)最大，并求出最大值．

Answer 1

（1），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/3/111tq2.png" style="vertical-align:middle;" />
（2）當(dāng)時(shí)，該特許專營(yíng)店獲得的利潤(rùn)最大為32400元.

解析試題分析：此題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)模型在實(shí)際問題中應(yīng)用的能力.（1）在此類問題中要注意單價(jià)與銷售量之間的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)要注意單價(jià)價(jià)格的取值范圍，必要時(shí)要進(jìn)行分段列式，再根據(jù)題意求解；（2）經(jīng)審題實(shí)際問題是求函數(shù)的最大值，由（1）可知函數(shù)是分段函數(shù)，所以要在自變量的各區(qū)間中求出最大值，進(jìn)行比較，從而求出函數(shù)的最大值，再還原回實(shí)際問題的解.
試題解析：（1）依題意
∴，
定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/3/111tq2.png" style="vertical-align:middle;" />           6分
（2）∵，]
∴當(dāng)時(shí)，則，(元)
當(dāng)時(shí)，則或24，(元)
綜上：當(dāng)時(shí)，該特許專營(yíng)店獲得的利潤(rùn)最大為32400元.    12分
考點(diǎn)：1.實(shí)際問題中的函數(shù)建模；2.分段函數(shù)的最值；3.二次函數(shù)的最值.