Question

在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)的距離之和等于4，設點P的軌跡為曲線C，直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）存在△AOB面積的最大值．由直線l過點E（-1，0），設直線l的方程為 x=my-1，由

x2 4 +y2=1 x=my-1.

，得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，由此能求出S_△AOB的最大值．

解答：（共13分）
解：（1）由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)為焦點，長半軸長為2的橢圓．…（3分）
故曲線C的方程為

x2

4

+y2=1． …（5分）
（2）存在△AOB面積的最大值．…（6分）
因為直線l過點E（-1，0），設直線l的方程為 x=my-1或y=0（舍）．
則

x2 4 +y2=1 x=my-1.

整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．
則 |y2-y1|=

4 m2+3

m2+4

．
因為S△AOB=

1

2

|OE|•|y1-y2|
=

2 m2+3

m2+4

=

2

m2+3 + 1 m2+3

． …（10分）
設g(t)=t+

1

t

，t=

m2+3

，t≥

3

．
則g（t）在區間[

3

，+∞)上為增函數．
所以g(t)≥

4 3

3

．
所以S△AOB≤

3

2

，
當且僅當m=0時取等號，即(S△AOB)max=

3

2

．
所以S_△AOB的最大值為

3

2

．…（13分）

點評：本題考查曲線的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．