Question

（理科題）（本小題12分）

已知數列{a_n}是等差數列，a₂＝3，a₅＝6，數列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n＋b_n＝1.

(1)求數列{a_n}的通項公式與前n項的和；

(2)求數列{b_n}的通項公式.

 

Answer 1

【答案】

(1)∴a_n＝2＋(n－1)＝n＋1.Sn＝na₁＋d＝. (2)證明：見解析。

【解析】

試題分析：（1）設{a_n}的公差為d，進而根據等差數列通項公式表示出a₂和a₅，求得a₁和d，則數列的通項公式和求和公式可得．

（2）根據T_n－T_n-1=b_n，整理得，判斷出{b_n}是等比數列．進而求得b₁，利用等比數列的通項公式求得答案．.

(1)設{a_n}的公差為d，則：a₂＝a₁＋d，a₅＝a₁＋4d.

   ……………2分

∴a₁＝2，d＝1    ……………3分

∴a_n＝2＋(n－1)＝n＋1.…………4分

Sn＝na₁＋d＝.………………6分

(2)證明：當n＝1時，b₁＝T₁，

由T₁＋b₁＝1，得b₁＝. ………8分

當n≥2時，∵T_n＝1－b_n，T_n－1＝1－b_n－1，

∴T_n－T_n－1＝ (b_n－1－b_n)，……………10分

即b_n＝ (b_n－1－b_n).

∴b_n＝b_n－1.  …………11分

∴{b_n}是以為首項，為公比的等比數列.∴b_n＝·()^n－1＝.……………12分

考點：等差數列的通項公式；考查了等差數列的性質和等比數列的判定，等差數列的前n項和；等比數列的通項公式．

點評：先求出等差數列的前n項和S_n,然后就可以求出T_n,再利用可求{b_n}

的通項公式。