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8.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥側面ABB1A1,底面△ABC是邊長為2的等邊三角形,側面ABB1A1為菱形且ABAA1=60°,D為A1B1的中點.
(Ⅰ)記平面BCD∩平面A1C1CA=l,在圖中作出l,并說明畫法(不用說明理由);
(Ⅱ)求直線l與平面B1C1CB所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)法一:延長BD與A1A交于F,連接CF交A1C1于點E,則直線CE(或CF)即為l.
法二:取A1C1中點E,連接ED,CE,則直線CE即為l.
(Ⅱ)取AB的中點O,以O為原點,分別以OA,OA1,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線l與平面B1C1CB所成角的正弦值.

解答 解:(Ⅰ)方法一:延長BD與A1A交于F,連接CF交A1C1于點E,
則直線CE(或CF)即為l.…(5分)
方法二:取A1C1中點E,連接ED,CE,
則直線CE即為l.…(5分)
(Ⅱ)取AB的中點O,因為△ABC為等邊三角形,
則CO⊥AB,CO⊆平面ABC,底面ABC⊥側面ABB1A1且交線為AB,
所以CO⊥側面ABB1A1.…(6分)
又側面ABB1A1為菱形且$∠BA{A_1}={60^o}$,
所以△AA1B為等邊三角形,所以A1O⊥AB.
以O為原點,分別以OA,OA1,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則A(1,0,0),B(-1,0,0),$C({0,0,\sqrt{3}})$,
${A_1}({0,\sqrt{3},0})$,${B_1}({-2,\sqrt{3},0})$,$D({-1,\sqrt{3},0})$,${C_1}({-1,\sqrt{3},\sqrt{3}})$,
則A1C1中點$E({-\frac{1}{2},\sqrt{3},\frac{{\sqrt{3}}}{2}})$.…(8分)
設平面B1C1CB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)
$\overrightarrow{BC}=({1,0,\sqrt{3}}),\overrightarrow{B{B_1}}=({-1,\sqrt{3},0})$,$\overrightarrow{CE}=({-\frac{1}{2},\sqrt{3},-\frac{{\sqrt{3}}}{2}})$,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$n=({\sqrt{3},1,-1})$…(10分)
設直線l與平面B1C1CB所成角為α,
則sinα=|cos<$\overrightarrow{CE}$,$\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$,
即直線l與平面B1C1CB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$.…(12分)

點評 本題考查滿足條件的直線的畫法,考查線面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養.

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