Question

一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始作勻速直線運動，到達點B時，發現足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A作勻速直線滾動．如圖所示，已知AB=4

2

dm，AD=17dm，∠BAC=45°．若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？

Answer 1

分析：構建三角形ABC，利用余弦定理，建立方程，即可求得機器人最快可在何處截住足球．

解答：解：設該機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設BC=xdm．  （2分）
由題意，CD=2xdm．AC=AD-CD=（17-2x）（dm）．               （4分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA．                               （6分）
即x2=(4

2

)2+(17-2x)2-2×4

2

×(17-2x)cos45°．                 （8分）
解得x1=5(dm)，x2=

37

3

(dm)．                                       （10分）
∴AC=17-2x=7（dm），或AC=-

23

3

(dm)（不合題意，舍去）．        （11分）
答：該機器人最快可在線段AD上離點A7dm的點C處截住足球．        （12分）

點評：本題考查余弦定理的運用，考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是構建滿足題意的三角形，屬于中檔題．