Question

（本小題滿分16分）已知圓：交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線：為準線的橢圓．（1）求橢圓的標準方程；（2）若是直線上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標；（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點，且，試求此時弦的長．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。………4分

（Ⅱ）設，則圓方程為 與圓聯立消去得的方程為，   過定點。………10分 

（Ⅲ）解法一：設，則,………①

，，即：        

代入①解得：（舍去正值），       ，所以，

從而圓心到直線的距離，從而。…16分

解法二：過點分別作直線的垂線，垂足分別為，設的傾斜角為，則：

，從而，  

由得：，，故，

由此直線的方程為，以下同解法一。              

解法三：將與橢圓方程聯立成方程組消去得：,設，則。

，，所以代入韋達定理得：

，消去得：，，由圖得：，

所以，以下同解法一。