Question

已知矩形ABCD中AB=4，BC=3，將其沿對角線AC折起，形成四面體ABCD，則以下命題正確的是：________（寫出所有正確命題的序號）
①四面體ABCD體積最大值為；
②四面體ABCD中，AB⊥CD；
③四面體ABCD的側視圖可能是個等腰直角三角形；
④四面體ABCD的外接球表面積是25π．

Answer 1

①③④
分析：①四面體ABCD體積最大值時為兩個面互相垂直，求出體積即可判斷正誤；
②四面體ABCD中，AB⊥CD；當兩個面互相垂直時才能滿足；
③四面體ABCD的側視圖可能是個等腰直角三角形；當兩個面互相垂直時就能滿足；
④求出四面體ABCD的外接球表面積即可判斷正誤．
解答：①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直，它的體積為；所以①正確；
②四面體ABCD中，AB⊥CD；當兩個面互相垂直時才能滿足；所以不正確；
③四面體ABCD的側視圖可能是個等腰直角三角形；當兩個面互相垂直時就能滿足；正確；
④通過就是四面體ABCD的外接球表面積是25π，所以正確．
故答案為：①③④
點評：本題是基礎題，考查四面體ABCD的外接球的表面積，三視圖，垂直關系，三棱錐的體積，是綜合題，每一個選項都必須認真驗證，或找出反例，是常考題．