Question

側(cè)棱長(zhǎng)為2

3

的正三棱錐V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，過點(diǎn)A作截面AEF，則截面△AEF周長(zhǎng)的最小值為

6

．

Answer 1

分析：沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′=3×40=120°．△VAA′中，由余弦定理可得 AA'的值．

解答：解：如圖所示：沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖（2），
則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′=3×40=120°．
△VAA′中，由余弦定理可得 AA'=

VA2 +(VA′)2-2VA•VA′sin∠AVA′

=

12+12-2×12cos120°

=6，
故答案為 6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用棱錐的側(cè)面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，是一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．