Question

【題目】設函數的兩個極值點分別為，若恒成立，則實數的取值范圍是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由函數有兩個極值點分別為，可知不單調，利用導數求得的范圍，運用韋達定理可得，作差，再由條件，結合恒成立思想，運用函數的單調性，構造函數，通過求導，判斷單調性可得，即可得到的范圍.

解：∵函數有兩個極值點分別為，
的定義域為，

，
令，其判別式.
當時，在上單調遞減，不合題意.
當時，的兩根都小于零，在上，，則在上單調遞減，不合題意.
當時，，設的兩個根都大于零，
令，
當時，，當時，，當時，，
故分別在上單調遞減，在上單調遞增，
∴的取值范圍是.
則，

，
.
若恒成立，則，
，
不妨設，則.
又，
①恒成立.
記，
記，
在上單調遞增，在上單調遞減，
且易知.又，
∴當時，；當時，.
故由①式可得，，代入方程，
得，（在上遞增）.
又，

∴的取值范圍是.
故答案為：.