Question

18．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函數f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a）
（1）求N（a）的表達式；
（2）求M（a）的表達式并說出其最值．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質求出函數的最小值即N（a）的表達式即可；
（2）求出函數f（x）的最大值即M（a）的表達式，從而求出M（a）的最值即可．

解答 解：（1）f（x）=a（${（x-\frac{1}{a}）}^{2}$-$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
因為x在[1，3]范圍內，所以當x=$\frac{1}{a}$時，函數f（x）取得最小值，
即N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$；
（2）當1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時，
則x=3時，函數f（x）取得最大值；
∴M（a）=f（3）=9a-6，
當2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，
則x=1時，函數f（x）取得最大值；
∴M（a）=f（1）=a-2，
綜上，得M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}}\\{9a-6，\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，
故M（a）的最小值為-$\frac{5}{3}$；最大值為3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質，是一道中檔題．