Question

三棱錐S-ABC中，側棱SA，SB，SC兩兩垂直，△SAB，△SBC，△SAC面積分別為1，

3

2

，3，則此三棱錐外接球表面積為

14π

．

Answer 1

分析：根據三角形面積公式，解方程組得SA=2，SB=1，SC=3，進而算出以SA、SB、SC為長、寬、高的長方體的對角線長為

14

，從而得到三棱錐外接球R=

14

2

，最后用球的表面積公式，可得此三棱錐外接球表面積．

解答：解：設SA=x，SB=y，SC=z，則
因為△SAB，△SBC，△SAC都是以S為直角頂點的直角三角形，得

1 2 xy=1 1 2 yz= 3 2 1 2 zx=3

解之得：x=2，y=1，z=3即SA=2，SB=1，SC=3，
∵側棱SA，SB，SC兩兩垂直，
∴以SA、SB、SC為過同一頂點的3條棱作長方體，該長方體的對角線長為

SA2+SB2+SC2

=

14

，恰好等于三棱錐外接球的直徑
由此可得外接球的半徑R=

14

2

得此三棱錐外接球表面積為S=4πR²=14π
故答案為：14π

點評：本題給出特殊三棱錐，求它的外接球表面積，著重考查了空間垂直關系的性質和多面體的外接球等知識，屬于中檔題．