Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)O，并以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．給出A、B、S、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

AC

、

SB

的坐標(biāo)，計(jì)算出數(shù)量積

AC

•

SB

=0，即可證出AC⊥SB；
（2）根據(jù)題意，算出向量

CE

、

EF

的坐坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出

n

=（

2

，-

6

，1）為平面CEF的一個(gè)法向量，而

OS

=（0，0，

2

）為平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式算出 銳二面角F-CE-B的余弦值；
（3）在平面CEF內(nèi)取點(diǎn)B，得到向量

EB

=（-

1

2

，

3

2

，0），根據(jù)空間坐標(biāo)系點(diǎn)到平面的距離公式，即可算出點(diǎn)B到平面CEF的距離

解答：解：（1）取AC中點(diǎn)O，根據(jù)題意可得OA、OB、OS兩兩互相垂直，
因此以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），
B（0，

3

，0），S（0，0，

2

），E（

1

2

，

3

2

，0），F(xiàn)（0，

3

2

，

2

2

），C（-1，0，0）
∴

AC

=（-2，0，0），

SB

=（0，

3

，-

2

）
∵

AC

•

SB

=-2×0+0×

3

+0×（-

2

）=0
∴

AC

⊥

SB

，即得AC⊥SB．
（2）由（1）得

CE

=（

3

2

，

3

2

，0），

EF

=（-

1

2

，0，

2

2

），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面CEF的一個(gè)法向量，
則

n • CE =0 n • EF =0

即

3 2 x+ 3 2 y=0 - 1 2 x+ 2 2 z=0

，
取z=1，得x=

2

，y=-

6

．
∴平面CEF的一個(gè)法向量為

n

=（

2

，-

6

，1）．
又∵

OS

=（0，0，

2

）為平面ABC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

| n • OS |

| n |•| OS |

=

1

3

，
所以二面角F-CE-B的余弦值為

1

3

．
（3）由（1）、（2），可得

EB

=（-

1

2

，

3

2

，0），
∵

n

=（

2

，-

6

，1）為平面CEF的一個(gè)法向量
∴由點(diǎn)到平面的距離公式，可得
點(diǎn)B到平面CEF的距離為 d=

| n • EB |

| n |

=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為等邊三角形且一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小和點(diǎn)到平面的距離．著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點(diǎn)到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識(shí)，屬于中檔題．