Question

已知函數，．
（1）若函數的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力，考查學生的分類討論思想、函數思想.第一問，對求導，將切點的橫坐標代入得到切線的斜率，由于與x軸平行，所以斜率為0，解出a的值；第二問，由于，恒成立，轉化為當時，，所以本問的主要任務是求的最小值，對求導，由于的正負的判斷不容易，所以進行二次求導進行最值、單調性的判斷.
試題解析：（1）                                       2分
因為在處切線與軸平行，即在切線斜率為即，∴．                           5分
（2），令，則，
所以在內單調遞增，
（i）當即時，，在內單調遞增，要想只需要，解得，從而                            8分
（ii）當即時，由在內單調遞增知，
存在唯一使得，有，令解
得，令解得，從而對于在處取最小值，
，又
，從而應有，即
，解得，由可得，有，綜上所述，．             12分
考點：導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題.