Question

設函數f（x）=x³-

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x²+6x-a．
（Ⅰ）對于任意實數x₁，x₂∈[-1，0]，求證：|f′（x₁）-f′（x₂）|≤12；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有且僅有三個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,導數的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），則對任意x∈[-1，0]，f′_max（x）=f′（-1）=18，f′_min（x）=f′（0）=6，從而證明；
（Ⅱ）由導數判斷函數的單調性及極值，從而解方程f（x）=0有且僅有三個實根時a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）；
對任意x∈[-1，0]，
f′_max（x）=f′（-1）=18，
f′_min（x）=f′（0）=6，
則對于任意實數x₁，x₂∈[-1，0]，
|f′（x₁）-f′（x₂）|≤|f′_max（x）-f′_min（x）|=12；
（Ⅱ）∵當x＜1時，f′（x）＞0，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，
當x＞2時，f′（x）＞0；
故當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=

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-a；
當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=2-a；
故當f（2）＜0，f（1）＞0時，方程f（x）=0有且僅有三個實根，
故2＜a＜

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．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了方程的根與函數的關系，屬于基礎題．