Question

（16分）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為. 記函數(shù) k為常數(shù)）.

    （1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；

  （2）求函數(shù)f(x)的值域.

Answer 1

解析：（1）因?yàn)?I>f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以對(duì)任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154656006.gif' width=65>，所以對(duì)且時(shí)，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分兩種情況討論：

（1）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154656013.gif' width=89>

…………………………9分

（2）當(dāng)時(shí)，又分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154656016.gif' width=73>，所以即.

所以f(x)是減函數(shù)，.

又，

當(dāng)，所以f(x)值域?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154656022.gif' width=87>.     ………………………10分

②當(dāng)k=1時(shí)，，

且f(x)是減函數(shù)，故f(x)值域是.               ………………………12分

③當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，，

.

下面再分兩種情況：

（a）當(dāng)時(shí)，的唯一實(shí)根，故，

是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154656013.gif' width=89>；

（b）當(dāng)時(shí)，的唯一實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以f(x).

故f(x)的值域?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154657038.gif' width=104>.                        ………………………15分

綜上所述，f(x)的值域?yàn)?IMG height=43 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523154657039.gif' width=145>；（）；

（）；（）.            ………………………16分