Question

已知函數(shù)f(x)=|x-

1

2

|-|2x-8|
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過對x的范圍分類討論，化簡不等式分別求出解集，然后求出并集即可．
（2）通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，直接求出函數(shù)的最大值，即可．

解答：解：（1）當x＜

1

2

時，f（x）＞1，即

1

2

-x-8+2x＞1，∴x＞

17

2

，此時無解．
當x∈[

1

2

，4)時，f（x）＞1，可得x-

1

2

-8+2x＞1解得x＞

19

6

，所以4＞x＞

19

6

．
當x≥4時，f（x）＞1，可得x-

1

2

+8-2x＞1，解得x＜

13

2

，所以4≤x＜

13

2

，
綜上不等式的交集為：(

19

6

，

13

2

)．
（2）f（x）=

x- 15 2     x＜ 1 2 3x- 17 2     x∈[ 1 2 ，4) 15 2 -x     x≥4

函數(shù)在x≤4時是增函數(shù)，x≥4時是減函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的最大值為：

7

2

．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．