Question

數列中各項為正數，為其前n項和，對任意，總有成等差數列.

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在最大正整數p，使得命題“，”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)根據是等差數列，得到,當時，兩式相減整理得到關于數列的遞推公式，可以知道數列是等差數列，利用求出首項;

(2)第一種方法就是首先假設存在正整數,滿足，利用代入得成立即中的最大整數，設,,利用導數易知函數的單調性，易求函數的最小值，

第二種方法設函數，求其導數，得到函數是單調遞增函數，其最大值小于0，求出p的范圍.

試題解析：（1）由已知時，，∴

兩式相減，得 ∴

又為正數，∴. 4分

∴是公差為1的等差數列.

當時，，得，∴. 6分

（2）解法1：假設存在正整數p，滿足，即.

∴ 8分

設函數，則.

當時，，∴在[1，+∞）上為增函數.

∴，即有.

∵p為滿足的最大正整數，而，故. 12分

解法2：設，

，

故在[1，+∞）上為減函數， 9分

.

令. ∵，

故使成立的最大正整數. 12分

考點：1.已知求;2.利用函數的導數求其最值.