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設定義在R上的函數f(x),對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求證f(x)是奇函數;
(2)如果x>0,f(x)<0,求證在R上是減函數.
分析:(1)令x=y=0,可求得f(0)=0,再令y=-x即可證得f(x)為奇函數;
(2)利用函數單調性的定義,x1,x2∈R,且x1<x2,作差f(x2)-f(x1)判斷其符號即可證得結論.
解答:(1)證明:∵函數f(x)的定義域為R,f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數.
(2)證明:設x1,x2∈R,且x1<x2
∵f(x)為奇函數,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x1<x2
∴x2-x1>0,
∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴函數f(x)為減函數.
點評:本題考查抽象函數及其應用,考查函數奇偶性與單調性的判斷與證明,考查分析轉化的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)滿足f(x)•f(x+2)=3,若f(1)=2,則f(5)=
2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•順義區二模)設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數,f′(x)是f(x)的導函數.當x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數為
6
6

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當x∈[-
π
2
π
2
]
時,0<f(x)<1;當x∈(-
π
2
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)同時滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對任意的x都成立;②當x∈[0,1]時,f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數的底數,m是常數).記f(x)在區間[2013,2016]上的零點個數為n,則(  )
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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