Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求數列x_n的通項公式；
（2）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數列y_n的一個通項公式，并證明你的結論；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由框圖，知數列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，由此能導出x_n．
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80．由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．然后構造成等比數列進行證明．
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）然后用錯位相減法進行求解．
解答：解：（1）由框圖，知數列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2008）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．
證明：由框圖，知數列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴
∴數列y_n+1是以3為首項，3為公比的等比數列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
記S_n=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ①
則3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5++2n-1=n²
∴z_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2008）．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意錯位相減法和構造成法的靈活運用．