Question

【題目】若向量 = ， =（sinωx，0），其中ω＞0，記函數f（x）=（ + ） ﹣ ．若函數f（x）的圖象與直線y=m（m為常數）相切，并且切點的橫坐標依次成公差是π的等差數列．
（Ⅰ）求f（x）的表達式及m的值；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移 個單位，再將得到的圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）后得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）在 上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵向量 = ， =（sinωx，0），∴函數f（x）=（ + ） ﹣ = + ﹣ = +sin2ωx﹣ = sin2ωx﹣ cos2ωx=sin（2ωx ），
∵函數f（x）的圖象與直線y=m（m為常數）相切時，
切點的橫坐標依次成公差是π的等差數列．
故T=π，m=±1，
即2ω=2，ω=1，
∴ ，m=±1
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移 個單位，
可得 的圖象，
再將得到的圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）后得到y=g（x）= 的圖象，
當x∈ 時， ∈ ，
故當 = 即x= 時，函數最最大值2，
當 = 即x= 時，函數最最小值﹣1，
故y=g（x）在 上的值域為：[﹣1，2]
【解析】（Ⅰ）由已知結合向量的數量積運算，倍角公式，和差角公式，可得f（x）的表達式及m的值；（Ⅱ）求出y=g（x）解析式，結合正弦函數的圖象和性質，可得y=g（x）在 上的值域．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象)．