Question

7．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為24m²，三月底測得覆蓋面積為36m²，鳳眼蓮覆蓋面積y（單位：m²）與月份x（單位：月）的關系有兩個函數模型y=ka^x（k＞0，a＞1）與y=px${\;}^{\frac{1}{2}}$+q（p＞0）可供選擇．
（Ⅰ）試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；
（Ⅱ）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份．
（參考數據：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷兩個函數y=ka^x（k＞0，a＞1），$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$在（0，+∞）的單調性，說明函數模型y=ka^x（k＞0，a＞1）適合要求．然后列出方程組，求解即可．
（Ⅱ）利用 x=0時，$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^0}=\frac{32}{3}$，元旦放入鳳眼蓮面積是$\frac{32}{3}{m^2}$，列出不等式轉化求解即可．

解答 本小題滿分（12分）．
解：（Ⅰ）兩個函數y=ka^x（k＞0，a＞1），$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$在（0，+∞）上都是增函數，隨著x的增加，函數y=ka^x（k＞0，a＞1）的值增加的越來越快，而函數$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$的值增加的越來越慢．
由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，所以函數模型y=ka^x（k＞0，a＞1）適合要求．
由題意可知，x=2時，y=24；x=3時，y=36，所以$\left\{{\begin{array}{l}{k{a^2}=24}\\{k{a^3}=36}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{32}{3}}\\{a=\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$
所以該函數模型的解析式是$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^x}$（x∈N^*）．
（Ⅱ） x=0時，$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^0}=\frac{32}{3}$，
所以元旦放入鳳眼蓮面積是$\frac{32}{3}{m^2}$，
由$\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^x}＞10×\frac{32}{3}$得${（{\frac{3}{2}}）^x}＞10$，
所以$x＞{log_{\frac{3}{2}}}10=\frac{lg10}{{1g\frac{3}{2}}}=\frac{1}{lg3-lg2}$，
因為$\frac{1}{lg3-lg2}=\frac{1}{0.4770-0.3010}≈5.7$，所以x≥6，
所以鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份．

點評 本小題考查數學建模能力、運算求解能力、分析問題和解決問題的能力；考查數學應用意識