Question

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高線DO為折痕，將平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，點H為棱AC的中點．
（1）求直線OC與直線AB所成的余弦值；
（2）求平面ADO與平面ACB所成的銳二面角的余弦值；
（3）在平面ADO內找一點G，使得GH⊥平面ACB．

Answer 1

分析：（1）以O為原點，OD、OB、OA分別為x軸、y軸、z軸建立直角空間坐標系，利用

OC

，

AB

的夾角求解．
（2）分別求出平面ACB，平面ADO的一個法向量．利用兩法向量夾角求解．
（3）要使GH⊥平面ACB，則

GH

∥

n

，根據向量共線定理求出G坐標．

解答：解：（1）以O為原點，OD、OB、OA分別為x軸、y軸、z軸建立直角空間坐標系．
則C（1，1，0），A（0，0，1），B（0，2，0），H(

1

2

，

1

2

，

1

2

)…（3分）∴

OC

=(1，1，0)，

AB

=(0，2，-1)∴cos＜

OC

，

AB

＞=

10

5

…（5分）
直線OC與直線AB所成的余弦值為

10

5

；
 （2）設

n

=(x，y，z)是平面ACB的一個法向量，又

AC

=(1，1，-1)，

AB

=(0，2，-1)
∴

x+y-z=0 2y-z=0

不妨取y=1，則

n

=(1，1，2)…（7分）
又平面ADO的一個法向量為

OB

=(0，2，0)
∴cos＜

n

，

OB

＞=

6

6

，即為所求                          …（10分）
（3）設G（x，0，z），則

GH

=(x-

1

2

，-

1

2

，z-

1

2

)，…（12分）
要使GH⊥平面ACB，則

GH

∥

n

，所以則G(0，0，-

1

2

)…（15分）

點評：本題考查異面直線夾角，二面角求解，直線和平面垂直關系．考查轉化的思想方法（空間問題平面化）空間想象能力，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證與求解演變成了代數運算，降低了思維難度，使人們解決問題更加方便．