Question

已知數(shù)列{a_n} 滿足：a₁=1，a₂=

1

2

，，且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

an+1

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅲ）求下表中前n行所有數(shù)的和S_n

a1a1

a2

a1a2

a3

 

a2a1

a3

…

a1an

an+1

  

a2an-1

an+1

… … 

ana1

an+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件a₁=1，a2=

1

2

，a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），得

an+2

an+1

=

an+1

an+an+1

．所以

an+1

an+2

-

an

an+1

= 1，由此能夠證明數(shù)列{

an

an+1

}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由

an

an+1

=

a1

a2

+(n-1)•1=n+1，知

a1

an

=

a1

a2

•

a2

a3

…

an-1

an

=2×3×…×n=n!，由此能求出an=

1

n!

．
（Ⅲ）由

akan-k+1

an+1

=

(n+1)!

k!(n-k+1)!

，（k=1，2，3，…，n），知第n行各數(shù)之和 

a1an

an+1

+

a2an-1

an+1

+…+

ana1

an+1

=2ⁿ⁺¹-2．由此能求出表中前n行所有數(shù)的和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由條件a₁=1，a2=

1

2

，a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），
得

an+2

an+1

=

an+1

an+an+1

．
∴

an+1

an+2

-

an

an+1

= 1，
∴數(shù)列{

an

an+1

}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

an+1

=

a1

a2

+(n-1)•1=n+1，
∴

a1

an

=

a1

a2

•

a2

a3

…

an-1

an

=2×3×…×n=n!，
∴an=

1

n!

．…（8分）
（Ⅲ）∵

akan-k+1

an+1

=

(n+1)!

k!(n-k+1)!

，（k=1，2，3，…，n）  …（10分）
∴第n行各數(shù)之和 

a1an

an+1

+

a2an-1

an+1

+…+

ana1

an+1

=C_n+1¹+C_n+2¹+…+C_n+1ⁿ
=2ⁿ⁺¹-2．
∴表中前n行所有數(shù)的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）+…+（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n
=

22(2n-1)

2-1

-2n
=2ⁿ⁺²-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列駝項公式的求法和求數(shù)列的前n項和．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．