Question

已知不等式|x+3|＞2|x|①

x+2

x2-3x+2

≥1，②2x²+mx-1＜0③．
（1）若同時滿足①②的x的值也滿足不等式③，求實數m的取值范圍．
（2）若滿足不等式③的x的值至少滿足①②中的一個，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先解出①②的解集，再研究兩個集合的關系．
（1）“若同時滿足①②的x的值也滿足不等式③，”即為“2x²+mx-1＜0在A∩B上成立”，然后由方程2x²+mx-1=0的一根小于0，大于等于3求解．
（2）“若滿足不等式③的x的值至少滿足①②中的一個”即：“2x²+mx-1＜0在A∪B上成立”，然后由方程2x²+mx-1=0的兩根應在區間[-1，4]上求解．

解答：解：①的解集為A={x|-1＜x＜3}，
②的解集為B={x|0≤x＜1或2＜x≤4}
A∩B={x|0≤x＜1或2＜x＜3}，A∪B={x|-1＜x≤4}（4分）
（1）根據題意，則方程2x²+mx-1=0的一根小于0，大于等于3．（5分）
設f（x）=2x²+mx-1，則

f(0)＜0 f(3)≤0

?m≤-

17

3

（7分）
（2）根據題意，則方程2x²+mx-1=0的兩根應在區間[-1，4]上．（8分）
設f（x）=2x²+mx-1，則

f(-1)≥0 f(4)≥0 △＞0 -1＜- m 4 ＜4

?-

31

4

≤m≤1（12分）

點評：本題主要考查集合的運算及不等式成立的基本解法．