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已知函數f(x)=ax3-
32
ax2(a∈R)
,函數g(x)=3(x-1)2
(Ⅰ)若函數f(x)在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直,求a的值;
(Ⅱ)當a>0時,分別求出f(x)和g(x)的單調區間;
(Ⅲ)討論方程f(x)=g(x)的解的個數.
分析:(Ⅰ)求導函數,利用函數f(x)在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直,可得切線的向量,從而可求a的值;
(Ⅱ)求導函數,利用導數的正負取得函數的單調區間;
(Ⅲ)構造新函數,求導函數,分類討論,確定極值的大小,從而可得方程解的個數.
解答:解:(Ⅰ)由已知得f'(x)=3ax2-3ax…(1分)
∵函數f(x)在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直
∴f'(2)=-1,即12a-6a=-1,解得a=-
1
6
…(3分)
(Ⅱ)f'(x)=3ax2-3ax=3ax(x-1)
∵a>0,由f'(x)>0可得x<0或x>1;由f'(x)<0可得0<x<1
∴函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,0),(1,+∞),單調遞減區間為(0,1)…(5分)
函數g(x)=3(x-1)2單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(-∞,1)…(6分)
(Ⅲ)令φ(x)=f(x)-g(x)=ax3-
3
2
(a+2)x2+6x-3

φ′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1)
.…(8分)
①若a=0,則φ(x)=-3(x-1)2
∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點,即方程f(x)=g(x)只有一個解;
②若a<0,則φ(x)的極大值為φ(1)=-
a
2
>0,φ(x)的極,小值為φ(
2
a
)=-
4
a2
+
6
a
-3<0
∴φ(x)的圖象與x軸有三個交點,即方程f(x)=g(x)有三個解;.…(10分)
③若0<a<2,則φ(x)的極大值為φ(1)=-
a
2
<0

∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點,
即方程f(x)=g(x)只有一個解;    …(11分)
④若a=2,則φ'(x)=6(x-1)2≥0,φ(x)單調遞增,
∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點,
即方程f(x)=g(x)只有一個解;    …(12分)
⑤若a>2,由(2)知φ(x)的極大值為φ(
2
a
)=-4(
1
a
-
3
4
)2-
3
4
<0

∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點,即方程f(x)=g(x)只有一個解;    …(13分)
綜上所述,若a≥0,方程f(x)=g(x)只有一個解;若a<0方程f(x)=g(x)有三個解.…(14分)
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性,考查函數的極值,考查分類討論的數學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
(2)求函數f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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同步練習冊答案
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