Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣4x，g（x）=﹣x2﹣3． （Ⅰ）求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx﹣4x，

∴f′（x）= ，

∴f′（1）=a﹣4，

故切線方程為y=（a﹣4）x﹣a；

（Ⅱ）h（x）=alnx+x2﹣4x+3，

∴h′（x）= ，

①若△=16﹣8a≤0，即a≥2，則h′（x）≥0，

則h（x）在（1，+∞）上單調遞增，又h（1）=0，不符舍去

②若△＞0，則a＜2，

令h′（x）＞0得x＞1+ ，令h′（x）＜0得0＜x＜1+ ，

則h（x）在（0，1+ ）上單調遞減，在（1+ ，+∞）單調遞增，

又h（1）=0，則必有h（e）＜0

即a+e2﹣4e+3＜0，

∴a＜﹣e2+4e﹣3

【解析】（Ⅰ）求導數，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求函數f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）h（x）=alnx+x2﹣4x+3，求導數，分類討論，確定單調性，即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．