Question

16．如圖，圓錐的軸截面SAB是正三角形，O為底面中心，M為線段SO中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周），若AM⊥MP，則點P的軌跡為（　　）

• A． 線段
• B． 圓
• C． 橢圓
• D． 拋物線

Answer 1

分析 設圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦．

解答 解：設圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，建立空間直角坐標系．設A（0，-1，0），B（0，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，y，0）．
于是有$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
由于AM⊥MP，所以（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=0，
即y=$\frac{3}{4}$，此為P點形成的軌跡是底面圓的弦．
故選：A．

點評 本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉化為求軌跡方程、考查向量的數量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．屬中檔題．