Question

已知雙曲線x2-

y2

2

=1與點P（1，2），過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若P為A、B中點．
（1）求直線AB的方程；
（2）若P的坐標為（1，1），這樣的直線是否存在，如存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線上一點P（1，2），求直線的方程，關鍵求直線的斜率，由中點公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=4，
可得K_AB，從而點斜式寫出直線方程．
（2）先假設直線l存在，依據條件去求，能求出符合條件的直線l方程，則直線l真正存在，否則，直線l不存在．

解答：解：（1）設直線l與雙曲線交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入方程得：
x₁²-

y12

2

=1     ①，x₂²-

y22

2

=1     ②，
①-②得：（x₁-x₂）•（x₁+x₂） _

( y1 +y2)(y1- y2)

2

=0．
∵P為A、B中點，由中點公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=4，
∴

y2-y1

x2-x1

=1=K_AB，∴直線l方程為：y-2=1•（x-1），即：x-y+1=0．
（2）假設直線l存在，設直線l與雙曲線交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）知，
（x₁-x₂）•（x₁+x₂） _

( y1 +y2)(y1- y2)

2

=0
由中點公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=2，

y2-y1

x2-x1

=2=K_AB，
∴直線l方程為：y-1=2（ x-1 ），即：2x-y-1=0．
但把求出的直線2x-y-1=0代入雙曲線x2-

y2

2

=1可得 2x²-4x+3=0，由于判別式△=16-24=-8＜0，
故滿足條件的直線不存在．

點評：本題主要考查直線的方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關系，注意設而不求得解題思想的應用，屬于中檔題．