Question

已知x，y滿足約束條件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

，當目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）在約束條件下取到最小值2

5

時，a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義確定取得最小值的條件，利用點到直線的距離即可得到結論．．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直線的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式對應的平面區域如圖：
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當直線y=-

a

b

x+

z

b

經過點A時，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最小，此時z最小．
由

x-y-1=0 2x-y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即A（2，1），
此時目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2

5

，
即2a+b=2

5

，
在點P（a，b）在直線2x+y=2

5

，
則原點到直線的距離d=

|2 5 |

12+22

=

2 5

5

=2，
即a²+b²的最小值d²=4，
故答案為：4

點評：本題主要考查線性規劃的基本應用，利用數形結合求出目標函數取得最大值的條件是解決本題的關鍵．