Question

設直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）. 試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求a的值，使圓H的面積最小.

 

Y

 

y2=2px

B

 

 

H

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設，則其坐標滿足 　　  消去x得  　　  則   　　  　　  因此. 　　  故O必在圓H的圓周上. 　　  又由題意圓心H（）是AB的中點，故 　　  　　  由前已證，OH應是圓H的半徑，且. 　　  從而當a=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小. 　　  解法二： 　　  設，則其坐標滿足 　　  分別消去x，y得 　　  故得A、B所在圓的方程 　　  明顯地，O（0，0）滿足上面方程 　　  故A、B、O三點均在上面方程的表示的圓上. 　　  又知A、B中點H的坐標為 　　  故 　　  而前面圓的方程可表示為 　　  故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）. 　　  又， 　　  故當a=0時，R2最小，從而圓的面積最小， 　　  解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上 　　  又直徑|AB|= 　　  上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小. 　　  此時a=0.