Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過(guò)雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．

（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；

（2）求直線的方程；

（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分14分）

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想和創(chuàng)新意識(shí)等．）

解：（1）因?yàn)?sub>，所以，所以．……1分

由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．

因?yàn)?sub>，所以，所以．3分

故雙曲線離心率的取值范圍為．…………………………………………4分

（2）方法1：因?yàn)?sub>，

所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．………5分

因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，……………………………6分

所以聯(lián)立方程組………………………………7分

消去，，即得直線的方程為．………………………………8分

方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，

則，．

因?yàn)?sub>，所以，即．……………………………5分

整理得．

因?yàn)?sub>，所以．……………………………………………6分

因?yàn)?sub>，，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，．

因?yàn)?sub>，所以．……………………………………………………7分

所以直線方程為．

即．

所以直線的方程為．…………………………………………………8分

方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，

則，．

因?yàn)?sub>，所以，即．……………………………5分

整理得．

因?yàn)?sub>，所以．……6分

這說(shuō)明點(diǎn)在直線上． …………7分

同理點(diǎn)也在直線上．

所以就是直線的方程． ……8分

（3）由（2）知，直線的方程為，

所以點(diǎn)到直線的距離為．

因?yàn)?sub>，

所以三角形的面積

．……………………………………10分

以下給出求三角形的面積的三種方法：

方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，

所以，即．

設(shè)，

所以．…………………………………………………………………………11分

因?yàn)?sub>，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．……………………12分

當(dāng)，即時(shí)，，……………………13分

當(dāng)，即時(shí)，．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．………14分

方法2：設(shè)，則．……………………………11分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．

所以．

令，則．

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．……………………12分

當(dāng)，即時(shí)，，……………………13分

當(dāng)，即時(shí)，．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．………14分

方法3：設(shè)，則．…………………11分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．

所以．

令，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．…………………12分

因?yàn)?sub>，所以，

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．

                                                      …………13分

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．………14分