Question

（2013•虹口區一模）已知函數f(x)=2sinx•sin(

π

3

-x)+

3

sinx•cosx+cos2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期，最大值及取最大值時相應的x值；
（2）如果0≤x≤

π

2

，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的倍角公式與輔助角公式將f（x）轉化為f（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得函數f（x）的最小正周期，最大值及取最大值時相應的x值；
（2）由0≤x≤

π

2

可求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數的性質即可求得f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=2sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+

3

sinxcosx+cos²x
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…（6分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，x=kπ+

π

6

（k∈z）時，f（x）取得最大值2．…（10分）
（2）由0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域為[-1，2]…（14分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的性質，考查轉化與運算能力，屬于中檔題．