Question

定義函數其導函數記為_．

(1)求證：f_n(x)≥nx；

(2)設，求證：0＜x₀＜1；

(3)是否存在區(qū)間使函數h(x)＝f₃(x)－f₂(x)在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵，令 　　則 　　當時，當時， 　　∴在上遞減，在上遞增 　　故在處取得極(最)小值 　　∴，即(當且僅當時取等號)　　　　4分; 　　(2)由，得 　　∴，，易知，　　　　6分 　　而 　　由(1)知當時，，故 　　∴，∴　　　　　　　　　　　9分; 　　(3) 　　 　　 　　令，得或， 　　∴當時，； 　　當時，； 　　當時，， 　　故的圖象如圖所示． 　　下面考查直線與的相交問題 　　由圖可知直線與存在交點，且滿足在區(qū)間上的值域為 　　∵在上，為圖象的極小值點 　　∴過作直線與的圖象交于另一點，當直線繞原點順時鐘旋轉至點時，滿足條件的取最小值，即的最小值為，相應區(qū)間為．　　　　　　　　　　　　　　　14分