Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N，f（x）∈N，滿足：對任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）試證明：f（x）為N上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）?n∈N，且f（0）=1，求證：f（n）≥n+1；
（3）對任意m，n∈N，有f（n+f（m））=f（n）+1+m，證明：

n

i=1

1

f(3i-1)

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知中對任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），我們易得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案．
（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性，我們可得?n∈N都有f（n+1）≥f（n）+1，f（n+1）-f（n）≥1…f（2）-f（1）≥1，f（1）-f（0）≥1，利用累加法即可得到答案．
（3）令m=0，可得出f（0）=1，則f（n+1）=f（n）+1，則f（n）=n+1，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式，求出不等式左邊的值，即可得到答案．

解答：證明：（1）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），所以函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．-----（3分）
（2）由（1）可知?n∈N都有f（n+1）＞f（n），則有f（n+1）≥f（n）+1-----（5分）∴f（n+1）-f（n）≥1，∴f（n）-f（n-1）≥1…∴f（2）-f（1）≥1∴f（1）-f（0）≥1
由此可得f（n）-f（0）≥n∴f（n）≥n+1命題得證---------------------------------------------------------（8分）
（3）令m=0，可得出f（0）=1-------------------------------------------------------------（10分）
則f（n+1）=f（n）+1，則f（n）=n+1---------------------------------------------------（12分）

n

i=1

1

f(3i-1)

=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

--------（14分）

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，等比數(shù)列的求和，其中（1）的關(guān)鍵是真正理解函數(shù)單調(diào)性的定義，（2）、（3）是要緊抓數(shù)列的函數(shù)特征，結(jié)合x∈N，利用數(shù)列的累加法，前n項和公式，進(jìn)行解答．