Question

（本小題滿分14分）
已知點C（1，0），點A、B是⊙O：上任意兩個不同的點，且滿足，設P為弦AB的中點．
（1）求點P的軌跡T的方程；
（2）試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）法一：連結CP，由，知AC⊥BC

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂徑定理知
即    --------------------------4分
設點P（x，y），有
化簡，得到    ----------------------8分
法二：設A，B，P，
根據題意，知，，
∴
故 ①----4分
又，有
∴，故
代入①式，得到
化簡，得到        --------------------------8分
（2）根據拋物線的定義，到直線的距離等于到點C（1，0）的距離的點都在拋物線
上，其中，∴，故拋物線方程為     ----------------10分
由方程組得，解得  ----------------12分
由于，故取，此時
故滿足條件的點存在的，其坐標為和      ---------------------14分

解析