Question

已知兩不共線的向量

a

，

b

的夾角為θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x為正實數．
（1）若

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若對任意正實數x，向量x

a

-

b

的模不小于

1

2

，求θ的取值范圍；
（3）若θ為銳角，對于正實數m，關于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有兩個不同的正實數解，且x≠m，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)，∴(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，化為

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得cosθ=

1

6

，
又θ∈（0，π），∴sinθ=

1-( 1 6 )2

=

35

6

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）∵|x

a

-

b

|=

(x a - b )2

=

9x2-6xcosθ+1

≥

1

2

，對x＞0恒成立，
即9x2-6xcosθ+

3

4

≥0，對于x＞0恒成立?cosθ≤

3x

2

+

1

8x

恒成立，對于x＞0．
∵

3x

2

+

1

8x

≥2

3x 2 × 1 8x

=

3

2

，當且僅當x=

3

6

時取等號，∴cosθ≤

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ∈[

π

6

，π)．
（3）對于方程|x

a

-

b

|=|m

a

|兩邊平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
設方程（*）的兩個不同正實數解為x₁，x₂，
則

△=(6cosθ)2-36(1-9m2)＞0 x1+x2= 6cosθ 9 ＞0 x1x2= 1-9m2 9 ＞0

得cosθ＞0，

1

3

sinθ＜m＜

1

3

，

若x=m，則方程（*）化為x=

1

6cosθ

，∵x≠m，∴m≠

1

6cosθ

．
令

1

3

sinθ＜

1

6cosθ

＜

1

3

，得

sin2θ＜1 cosθ＞ 1 2

解得0＜θ＜

π

3

，且θ≠

π

4

．
當0＜θ＜

π

3

且θ≠

π

4

時，m的取值范圍是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

且m≠

1

6cosθ

}；
當

π

3

≤θ＜

π

2

或θ=

π

4

時，m的取值范圍是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

}．