Question

（05年福建卷）（12分）

 如圖，直二面角D―AB―E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B―AC―E的大小；

（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.

 

Answer 1

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E為直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)連結BD交AC于G,連結FG,∵正方形ABCD邊長為2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)過E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E為直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

設D到平面ACE的距離為h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴點D點D到平面ACE的距離為.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,過O點平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,如圖

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O為AB的中點

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

                                     

 

設平面AEC的一個法向量=(x,y,z),則即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一個法向量,又平面BAC的一個法向量為=(1,0,0),   

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小為arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z軸,AD=2,∴,∴點D到平面ACE的距離

d=||.