Question

（2012•南寧模擬）已知F，F'分別是橢圓C₁：17x²+16y²=17的上、下焦點，直線l₁過點F'且垂直于橢圓長軸，動直線l₂垂直l₁于點G，線段GF的垂直平分線交l₂于點H，點H的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l：x-y-2=0上運動，且過點P作軌跡C₂的兩務切線PA、PB，切點為A、B，試猜想∠PFA與∠PFB的大小關系，并證明你的結論的正確性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓C₁：17x²+16y²=17，可得F，F'的坐標，從而可得動點H到定直線l₁：y=-

1

4

與定點F（0，

1

4

）的距離相等，由此可得軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA與∠PFB，先求切線AP、BP的方程，聯立可得P的坐標，進一步可得

FA

、

FB

、

FP

的坐標，利用向量的夾角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，從而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：17x²+16y²=17，∴橢圓半焦距長為

1

4

∴F′（0，-

1

4

），F（0，

1

4

）
∵HG=HF，∴動點H到定直線l₁：y=-

1

4

與定點F（0，

1

4

）的距離相等
∴動點H的軌跡為以定直線l₁：y=-

1

4

為準線，定點F（0，

1

4

）為焦點的拋物線
∴軌跡C₂的方程為x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA與∠PFB，證明如下：
由（Ⅰ）設A（x0，x02），B（x1，x12）（x₀≠x₁）
∴切線AP：2x0x-y-x02=0，切線BP：2x1x-y-x12=0
聯立可得P的坐標xP=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁
∵

FA

=（x0，x02-

1

4

），

FB

=（x1，x12-

1

4

），

FP

=（

x0+x1

2

，x0x1-

1

4

）
由于P在拋物線外，則|

FP

|≠0
∴cos∠AFP=

FP • FA

| FP || FA |

=

x0x1+ 1 4

| FP |

同理可得cos∠BFP=

FP • FB

| FP || FB |

=

x0x1+ 1 4

| FP |

∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．

點評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查向量知識的運用，正確運用向量的夾角公式是關鍵．