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在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=1，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為
-1
-1
．
分析：如圖所示．由于
CD
=
CA
+
AB
+
BD
，利用數(shù)量積的性質(zhì)可得
CD
2=(
CA
+
AB
+
BD
)2=
CA
2+
AB
2+
BD
2+2
CA
•
AB
+2
CA
•
BD
+2
AB
•
BD
，又CA⊥AB，AB⊥BD，可得
CA
•
AB
=
AB
•
BD
=0．進(jìn)而得出．
解答：解：如圖所示．
∵
CD
=
CA
+
AB
+
BD
，
∴
CD
2=(
CA
+
AB
+
BD
)2=
CA
2+
AB
2+
BD
2+2
CA
•
AB
+2
CA
•
BD
+2
AB
•
BD
，
∵CA⊥AB，AB⊥BD，∴
CA
•
AB
=
AB
•
BD
=0．
∴(
5
)2=12+12+12+0+2×1×1×cos＜
CA
，
BD
＞+0，
化為cos＜
CA
，
BD
＞=1，
∴二面角α-l-β的平面角為平角，其余弦值為-1．
故答案為-1．
點(diǎn)評：本題考查了利用向量的夾角求二面角的平面角的方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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4、在二面角α-l-β中，平面α的法向量為n，平面β的法向量為m，若＜n，m＞=130°，則二面角α-l-β的大小為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求二面角α-l-β的大小
（2）求證：MN⊥AB
（3）求異面直線PA和MN所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在二面角α-l-β中，A∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為
1
2
或-
1
2
1
2
或-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在二面角α-l-β中，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=AC=2，BD=CD=1，則二面角α-l-β的大小等于（　　）[

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