Question

已知三點(diǎn)：A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）
①若a∈（-π，0），且|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
②若

AC

•

BC

=0，求

2sin2a+sin2a

1+tana

Answer 1

分析：（1）由已知|

AC

|=|

BC

|代入坐標(biāo)得出sinα和cosα的關(guān)系式，結(jié)合α的范圍，求出角α的值；
（2）由已知

AC

•

BC

=0代入坐標(biāo)得出關(guān)于角α的關(guān)系式，再將

2sin2a+sin2a

1+tana

利用二倍角公式和切化弦知識(shí)統(tǒng)一成角α的關(guān)系式，與已知找關(guān)系即可．

解答：解：（1）由已知|

AC

|=|

BC

|代入坐標(biāo)得：
（3sinα-4）²+（3sinα）²=（3cosα）²+（3sinα-4）²
即sinα=cosα，所以tanα=1，
因?yàn)閍∈（-π，0），所以α=-

3π

4

（2）由已知

AC

•

BC

=0代入坐標(biāo)得：
（3cosα-4，3sinα）•（3cosα，3sinα-4）
=9cos²α-12cosα+9sin²α-12sinα
=9-12（sinα+cosα）=0
所以sinα+cosα=

3

4

平方得1+2sinα•cosα=

9

16

所以2sinα•cosα=-

7

16

又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

2sin2a+sin2a

1+tana

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinα•cosα=-

7

16

點(diǎn)評(píng)：本題是向量和三角的綜合問(wèn)題，以向量的模、向量的數(shù)量積為載體考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值運(yùn)算知識(shí)．