Question

【題目】已知圓，直線:x=6，圓與軸相交于點（如圖），點P(-1,2)是圓內一點，點為圓上任一點（異于點），直線與相交于點．

（1）若過點P的直線與圓相交所得弦長等于，求直線的方程；

（2）設直線的斜率分別為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）-3

【解析】試題分析：（1）由點到直線距離公式可得圓心到直線的距離，設直線的方程為， 由 解得，又過點P且與軸垂直的直線顯然符合要求，故滿足題意的直線應為兩條；

（2）方法1：聯立 得點 ，問題得證；

方法2：設點的坐標為，分 ， ，兩組情況討論得證

；方法3：設點的坐標為, 則，則由三點A、Q、C三點共線及直線的方程得點，表示出 ，可證為定值

試題解析：
（1）因直線與圓相交所得弦長等于，所以圓心到直線的距離

設直線的方程為，即

由 解得

又過點P且與軸垂直的直線顯然符合要求

所以直線的方程是或

（2）方法1：設點的坐標為，則直線的方程為

由 解得

從而得點

所以

方法2：設點的坐標為，

若 ，則

所以

當時，同理可得

所以為定值

方法3：設點的坐標為, 則

則三點A、Q、C三點共線及直線的方程得點