Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]，f（x）=x，那么在區間[-1，3]內，關于x的方程4f（x）=x+m（其中m為實常數）有四個不同的實根，則m的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：利用函數的奇偶性和周期性可畫出函數的圖象，利用數形結合的思想解答．由已知需要先畫出函數在[0，1]上的圖象，再利用奇偶性畫出在[-1，0]上的圖象，利用周期性可畫出在區間[-1，3]內的函數圖象，即可解答本題．

解答：解：因為關于x的方程4f（x）=x+m有4個不同的根，
就是函數y=f（x）的圖象與y=

1

4

（x+m）的圖象有4個不同的交點，
f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
所以可以得到函數f（x）的圖象
又因為y=

1

4

（x+m）是一組斜率為

1

4

的平行直線系，
在同一坐標系內畫出它們的圖象如圖，
由圖得y=

1

4

（x+m）在過點A（3，1）的直線y=

1

4

（x+1）和y=

1

4

x中間時符合要求，
所以m的取值范圍是0＜k≤1．
故答案為：（0，1]．

點評：本題考查根的個數的應用和數形結合思想的應用．數形結合的應用大致分兩類：一是以形解數，即借助數的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具．